Już wiesz, że między funkcjami trygonometrycznymi różnych kątów zachodzą pewne związki. Poznałeś wzory redukcyjnewzory redukcyjnewzory redukcyjne dla kątów i . Posłużymy się nimi w tym materiale.
Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych:
Funkcje trygonometryczne
Definicja: Funkcje trygonometryczne
Niech będzie dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniu kąta skierowanegokąt skierowanykąta skierowanego .
R15sy2POdzQG8
Przy oznaczeniach jak na rysunku mamy:
Wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych oraz wzory redukcyjne dla kątów , udowodnimy poniższe twierdzenie.
wzory redukcyjne dla kąta
Twierdzenie: wzory redukcyjne dla kąta
Dla dowolnego kąta :
,
,
, , ,
Dowód
Dla dowolnego kąta prawdziwe są zależności:
,
,
,
Rozważmy kąty: i . Oznaczmy kąt przez .
RlkuhPcYclbvC
Zauważmy, że punkty i są symetryczne względem osi .
Zatem , natomiast . Stąd:
Udowodniliśmy tym samym sformułowane wcześniej twierdzenie.
Zauważmy, że wyprowadzając wzór , mogliśmy zastosować poznany wcześniej związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:
.
Podstawiając, otrzymamy:
Można też dowodzić tego twierdzenia w następujący sposób.
Wykorzystaliśmy tu wzory redukcyjne:
,
,
, o ile tangens istnieje
oraz
,
,
.
Przykład 1
Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta .
Wykorzystamy wyprowadzone powyżej wzory.
sposób
Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów otrzymujemy:
sposób
Możemy również wykorzystać wzory redukcyjnewzory redukcyjnewzory redukcyjne dla kątów .
Przykład 2
Zapiszemy wyrażenie w możliwie najprostszej postaci .
Zauważamy, że , zatem:
Przykład 3
Obliczymy wartość wyrażenia .
sposób
Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów otrzymujemy:
Usunęliśmy niewymierność z mianownika, rozszerzając ułamek
i zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia :
.
sposób
Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów mamy:
.
Przykład 4
Udowodnimy tożsamość:
Przekształcimy najpierw lewą stronę równości: .
Przekształcimy teraz drugą stronę równości:
Ponieważ lewa strona równości jest równa stronie prawej, to równość jest tożsamością.
Słownik
wzory redukcyjne
wzory redukcyjne
wzory pozwalające wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta za pomocą wartości funkcji kąta ostrego
kąt skierowany
kąt skierowany
para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego