Slajd pierwszy.

Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ oraz $\cos \beta =\frac{a}{c}$.

Slajd drugi.

Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym αalfa takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa.

Slajd trzeci.

Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^2+2^2=5^2$, zatem mamy $a=\sqrt{21}$. Stąd $\cos \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$ oraz $\cos \beta =\frac{2}{5}$. Zatem $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{\sqrt{21}+2}{5}$

Slajd czwarty.

Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^2+4^2=6^2$, zatem mamy $a=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Stąd $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ oraz $\cos \beta =\frac{2}{3}$. Ponieważ $\sqrt{5}>2$, zatem $\cos \alpha >\cos \beta$.

Slajd piąty.

Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: $a=20-4=16$ oraz $b=16-4=12$, stąd mamy $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ oraz $\cos \beta =\frac{3}{5}$.