Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, starając się najpierw samodzielnie rozwiązać zapisane tam zadanie.

R1c03ZxnYlrZr

Ilustracja interaktywna. Zadanie. Wartość samochodu maleje z roku na rok, co roku o tę samą kwotę. Wiadomo, że po dziesięciu latach użytkowania wartość samochodu była dwa razy większa, niż po piętnastu latach. Obliczymy, po ilu latach wartość samochodu zmaleje do zera. Oznaczymy: n to liczba lat, po których wartość samochodu zmaleje do zera,

a_{n}

to wartość samochodu w entym roku w złotówkach, r to kwota, o którą maleje wartość samochodu w kolejnych latach w złotówkach. Kwoty, określające wartość samochodu w poszczególnych latach stanowią kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.,

a_{10} = a_{1} + (10 - 1) \cdot r

. Korzystamy ze wzoru na

n

–ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wartość samochodu po

10

latach.,

a_{10} = a_{1} + 9 \cdot r

. Wartość samochodu po

15

latach.,

a_{15} = a_{1} + (15 - 1) \cdot r

a_{15} = a_{1} + 14 \cdot r

. Po dziesięciu latach użytkowania wartość samochodu była dwa razy większa niż po piętnastu latach.

a_{10} = 2 a_{15}

. Przekształcamy zapisaną równość.

a_{1} + 9 \cdot r = 2 (a_{1} + 14 \cdot r)

a_{1} + 9 \cdot r = 2 \cdot a_{1} + 28 \cdot r

a_{1} + 19 \cdot r = 0

a_{1} + 19 \cdot r = a_{20}

a_{1} + 19 r

- to dwudziesty wyraz ciągu, który tworzą kwoty określające wartość samochodu w poszczególnych latach.

a_{20} = 0

. Odpowiedź: Wartość samochodu zmaleje do zera po dwudziestu latach.

Polecenie 2

Wartość koparki maleje co roku o tę samą kwotę. Proces ten skończy się, gdy wartość koparki zamortyzuje się, czyli jej wartość będzie równa $0$ . Oblicz, po ilu latach zamortyzuje się koparka, jeżeli jej wartość po $25$ latach była trzy razy mniejsza niż po $15$ latach.

Oznaczmy:
$n$ – szukana liczba lat,
$a_{n}$ – wartość koparki w roku $n$ (w $zł$ ),
$r$ – kwota, o którą maleje wartość koparki w kolejnych latach (w $zł$ ).

$a_{15} = a_{1} + (15 - 1) \cdot r$

$a_{15} = a_{1} + 14 \cdot r$ – wartość koparki po $15$ latach

$a_{25} = a_{1} + 24 \cdot r$ – wartość koparki po $25$ latach

$3 (a_{1} + 24 \cdot r) = a_{1} + 14 \cdot r$ – wartość koparki po $25$ latach jest trzy razy mniejsza niż po $15$ latach

$3 a_{1} + 72 r = a_{1} + 14 \cdot r$

$a_{1} + 29 r = 0$

Ponieważ $a_{1} + 29 r = a_{30}$ , więc koparka zamortyzuje się po $30$ latach.

Przeczytaj

Sprawdź się