Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Udostępnij materiał

Jak narysować trójkąt o trzech danych bokach

Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: 6 cm, 3 cm4 cm.
Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach 4 cm3 cm i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta.

RtjaYjxy33ViY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rh4ODicARcdSm1
Animacja pokazuje kreślenie trójkąta, gdy dane są trzy odcinki o długościach: 6 cm, 3 cm i 4 cm. Dany jest najdłuższy bok AB. Z końców tego boku poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RDi4Yaa97LqyW1
Animacja pokazuje odcinek AB = 6 cm. Z końców tego odcinka poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt. Końce mogą łączyć się na dwa sposoby, gdy znajdują się nad lub pod najdłuższym odcinkiem. Zauważamy, że poruszając końcami odcinków, końce zataczają okręgi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

38677851871345B00B15068551835785A00A

R1eCLViVzopPf1
1. Animacja pokazuje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm i 4 cm. Wierzchołki A, B trójkąta są środkami okręgów o promieniach 4 cm i 3 cm. Należy podać opis konstrukcji trójkąta, gdy dane są trzy odcinki. Kolejność konstrukcji: rysujemy odcinek AB = 6 cm, rysujemy okrąg ośrodku A i promieniu 4 cm, rysujemy okrąg ośrodku B i promieniu 3 cm, okręgi przecinają się w punktach C i D, kreślimy odcinki AC i BC, powstaje trójkąt A B C.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
ipLBJH5DGi_d5e235

Warunek trójkąta

R178hXflQIMrh1
Animacja pokazuje trójkąt A B C zbudowany z trzech odcinków, których długość możemy zmieniać. Zmieniając długości boków należy obserwować jak zmienia się wielkość i kształt trójkąta. Zauważamy, że: jeżeli długości boków AC = 4 cm, BC =3 cm to długość boku AB musi być większa od 1 cm a mniejsza od 7 cm. Jeżeli długości boków AB = 6 cm, BC =3 cm to długość boku AC musi być większa od 3 a mniejsza od 9. Jeżeli długości boków AB =6 cm, AC =4 cm to długość boku BC musi być większa od 2 i mniejsza od 10.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości. Jeżeli dana jest długość jednego z boków, to suma długości dwóch pozostałych musi być od niej większa.

Ważne!

Suma długości dwóch boków trójkąta jest zawsze większa od długości trzeciego boku.
Jest to tak zwany warunek trójkąta.

RceRne2ML3WOI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 1

Dane są długości trzech odcinków. Które odcinki mogą być bokami trójkąta?
Wskaż poprawną odpowiedź.

R1UY1h0SPskG1
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Czy odcinki o długościach: 9 cm, 3 cm5 cm mogą być bokami trójkąta? Wskaż poprawną odpowiedź.

R1046p9KoYB5h
static

Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach

Konstrukcje geometryczne różnią się od zwykłego rysowania. Do ich wykonania możemy wykorzystywać tylko cyrkiel i linijkę, przy czym linijka nie służy do mierzenia, a tylko do rysowania odcinków, prostych lub półprostych. Natomiast za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki, rysować okręgi i łuki okręgów. Oczywiście używamy też ołówka.
Konstrukcje wykonywano już w starożytności, rozwiązując w ten sposób wiele problemów geometrycznych.

A
Ćwiczenie 3

Wykonaj konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.

A
Ćwiczenie 4

Narysuj dane: trzy odcinki o długościach 5 cm, 4 cm3 cm.
Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta o bokach długości 5 cm, 4 cm3 cm.
Jaki rodzaj trójkąta powstał?

B
Ćwiczenie 5

Narysuj dwa odcinki różnej długości. Dłuższy oznacz literą a, krótszy literą b.
Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta

  1. równobocznego o boku a

  2. równobocznego o boku b

  3. równoramiennego o podstawie b i ramionach a

  4. równoramiennego o podstawie a i ramionach b

C
Ćwiczenie 6

Narysuj na kartce A4 odcinek o długości 5 cm. Skonstruuj 6 trójkątów równobocznych o boku 5 cm, ale połącz je w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę. Możesz pomalować wnętrza trójkątów kolorowymi kredkami.