Prezentacja multimedialna
Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj poniższe polecenie.
Slajd pierwszy.
Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: oraz .
Slajd drugi.
Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym alfa takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. . Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa.
Slajd trzeci.
Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: , zatem mamy . Stąd oraz . Zatem
Slajd czwarty.
Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: , zatem mamy . Stąd oraz . Ponieważ , zatem .
Slajd piąty.
Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: oraz , stąd mamy oraz .
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość , a druga jest o krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.