Rozwiążemy równanie: $\cos x·\cos 2x·\cos 3x=-1$. Ponieważ funkcja $\cos x$ ma wartości w przedziale $⟨-1;1⟩$, zatem iloczyn funkcji $\cos x, \cos 2x, \cos 3x$ przyjmuje co najmniej wartość $\left(-1\right)$. Możliwe są następujące cztery przypadki. Przypadek pierwszy: $\cos x=-1, \cos 2x=-1, \cos 3x=-1$. Przypadek drugi: $\cos x=-1, \cos 2x=1, \cos 3x=1$. Przypadek trzeci: $\cos x=1, \cos 2x=-1, \cos 3x=1$. Przypadek czwarty: $\cos x=1, \cos 2x=1, \cos 3x=-1$. Na ilustracji przedstawiono trzy wykresy funkcji: $y=\cos x, y=\cos 2x, y=\cos 3x$. Rysunke przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od zera do dwóch pi oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do jeden z podziałką co ćwierć. Znany nam wykres $y=\cos x$ przebiega standardowo. Jego punkty charakterystyczne to: $\left(0;1\right), \left(\frac{\pi }{2};0\right), \left(\pi ;-1\right), \left(\frac{3}{2}\pi ;0\right), \left(2\pi ;1\right)$, a jego okres to $2\pi$. Wykres funkcji $y=2\cos x$ jest bardziej ściśnięty, niż standardowy wykres funkcji cosinus i przebiega przez następujące punkty charakterystyczne: $\left(0;1\right), \left(\frac{\pi }{2};-1\right), \left(\pi ;1\right), \left(\frac{3}{2}\pi ;-1\right), \left(2\pi ;1\right)$, a jego okres to $\pi$. Wykres funkcji $y=3\cos x$ jest jeszcze bardziej ściśnięty, niż standardowy wykres funkcji cosinus i przebiega przez następujące punkty charakterystyczne: $\left(0;1\right), \left(\frac{\pi }{2};0\right), \left(\pi ;-1\right), \left(\frac{3}{2}\pi ;0\right), \left(2\pi ;1\right)$, a jego okres to $\frac{2}{3}\pi$. Z rysunku możemy postawić hipotezę, że równanie nie ma rozwiązań. Dalej udowodnimy tę hipotezę. Rozważmy przypadek pierwszy, czyli $\cos x=-1, \cos 2x=-1, \cos 3x=-1$. Tutaj mamy, że $\cos x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\pi +2k\pi$, następnie $\cos 2x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ oraz $\cos 3x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2}{3}k\pi$. Zatem nie istnieją ementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\cos x=-1, \cos 2x=-1, \cos 3x=-1$. W przypadku drugim, dla $\cos x=-1, \cos 2x=1, \cos 3x=1$ mamy następujące rozwiązania: $\cos x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\pi +2k\pi$, następnie $\cos 2x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=k\pi$ oraz $\cos 3x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\frac{2}{3}k\pi$. Zatem nie istnieją elementy, które spełniają każde z następujących równań: $\cos x=-1, \cos 2x=1, \cos 3x=1$. W przypadku trzecim, gdzie $\cos x=1, \cos 2x=-1, \cos 3x=1$, mamy następujące rozwiązania: $\cos x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=2k\pi$, następnie $\cos 2x=-1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ oraz $\cos 3x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\frac{2}{3}k\pi$. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\cos x=1, \cos 2x=-1, \cos 3x=1$. W przypadku czwartym, gdzie $\cos x=1, \cos 2x=1, \cos 3x=-1$ mamy następujące rozwiązania: $\cos x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=2k\pi$, następnie $\cos 2x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=k\pi$ oraz $\cos 2x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2}{3}k\pi$. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\cos x=1, \cos 2x=1, \cos 3x=-1$. Zatem równanie $\cos x· \cos 2x·\cos 3x=-1$ nie ma żadnych rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.