Przeczytaj
Naszym celem jest określanie sposobu wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej jednym wzorem, za to kilkoma wyrażeniami w różnych przedziałach. (O takim sposobie opisu funkcji mówimy też czasem, że funkcja opisana jest różnymi wzorami w różnych przedziałach). Poniższe przykłady pomogą nam zrozumieć w jaki sposób możemy wyznaczyć zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji, gdy funkcja opisana jest jednym wzorem, za to różnymi wyrażeniami w różnych przedziałach.
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Rozwiązanie:
Funkcja opisana jest dwoma wyrażeniami. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.
, gdy oraz , gdy .
Dla każdej z tych funkcji wykonamy tabelkę częściową.
tabelka częściowa funkcji | |||||
---|---|---|---|---|---|
tabelka częściowa funkcji | |||||
---|---|---|---|---|---|
Naszkicujemy w układzie współrzędnych wykres funkcji i odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji.
Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi . Zapisujemy go symbolicznie .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Sprawdzimy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji .
Rozwiązanie:
Funkcja opisana jest dwoma wyrażeniami. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.
, gdy .
, gdy .
Wykresem funkcji jest część paraboli. Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Wykresem funkcji jest półprosta równoległa do osi . Początek półprostej nie należy do wykresu funkcji. Zbiór wartości funkcji jest zbiorem jednoelementowym .
Zbiorem wartości funkcji jest suma przedziałów. Możemy zapisać to .
Sprawdzimy nasze przypuszczenia analizując wykres funkcji .
Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi .
Korzystając z wyznaczonego zbioru wartości funkcji , sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji.
Zauważamy, że do zbioru wartości funkcji , należy tylko jedna liczba ujemna. Tą liczbą jest . Wśród podanych liczb nie ma tej liczby. Do zbioru wartości należą liczby dodatnie większe lub równe liczbie . Na podstawie tych informacji możemy zapisać, że spośród podanych liczb do zbioru wartości funkcji należą liczby ; ; .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Rozwiązanie:
Funkcja opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. Naszkicujemy wykres tej funkcji i zbiór wartości odczytamy z wykresu.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy to symbolicznie .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Rozwiązanie:
Funkcja opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. Naszkicujemy wykres tej funkcji i zbiór wartości odczytamy z wykresu.
Zbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji odczytujemy na osi .
Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy to symbolicznie .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Rozwiązanie:
Funkcja opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. Zbiór wartości odczytamy na osi pionowej .
Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy to symbolicznie .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Uzasadnimy, że do zbioru wartości funkcji należą liczby: ; ; ; .
Rozwiązanie:
Funkcja opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. Zbiór wartości odczytamy na osi pionowej .
Odczytujemy z wykresu, że zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy to symbolicznie .
Liczba należy do zbioru wartości funkcji ponieważ wynika to ze wzoru opisującego funkcję. Dla każdej liczby rzeczywistej takiej, że liczba jest mniejsza lub równa , wartość funkcji jest stała i równa .
Wartości ujemne może przyjmować funkcja opisana za pomocą trzeciego wyrażenia. Sprawdzimy to, wykonując odpowiednie obliczenia.
Liczba , stąd wniosek, że należy do zbioru wartości funkcji .
Liczba , stąd wniosek, że należy do zbioru wartości funkcji .
Wykażemy, że liczba należy do zbioru wartości funkcji .
Rozwiązujemy odpowiednie równanie.
lub
lub
Liczba , stąd wniosek, że liczba należy do zbioru wartości funkcji .
Podsumowanie
W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji opisanej różnymi wzorami w różnych przedziałach, szkicujemy najpierw wykres tej funkcji, a następnie odczytujemy zbiór wartości na osi .
Sprawdzenia, czy liczba a należy do zbioru wartości funkcji , możemy dokonać dwoma sposobami:
sposób pierwszy – wyznaczamy zbiór wartości funkcji i sprawdzamy, czy liczba należy do tego zbioru,
sposób drugi – rozwiązujemy równanie i sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji .
Słownik
zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów