Rozwiążemy równanie $4{\sin }^{2}x\left(1+\cos 2x\right)=1-\cos 2x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ i otrzymujemy równanie w postaci:

$4{\sin }^{2}x\left(1+\cos 2x\right)=2{\sin }^{2}x$.

Przenosimy składniki na lewą stronę:

$4{\sin }^{2}x\left(1+\cos 2x\right)-2{\sin }^{2}x=0$

i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik:

$2{\sin }^{2}x\left(2+2\cos 2x-1\right)=0$.

Zatem równanie jest równoważne alternatywie równań:

$\sin x=0$ lub $\cos 2x=-\frac{1}{2}$.

Równanie $\sin x=0$ ma rozwiązania:

$x=k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Równanie $\cos 2x=-\frac{1}{2}$ ma rozwiązania:

$2x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ lub $2x=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$,

czyli $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem odpowiedź jest następująca: $x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\sin 2x={\cos }^4\frac{x}{2}-{\sin }^4\frac{x}{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

$\sin 2x={\cos }^4\frac{x}{2}-{\sin }^4\frac{x}{2}$.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia rozkładamy na czynniki lewą stronę równania:

$\sin 2x=\left({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}+\sin x^2\frac{x}{2}\right)$.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej oraz wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta zwijamy równanie do postaci:

$2\sin x·\cos x=\cos x$.

Przenosząc wszystkie składniki na lewą stronę otrzymujemy postać iloczynową:

$2\cos x\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)=0$.

Zatem otrzymujemy alternatywę warunków:

$\cos x=0$ lub $\sin x=\frac{1}{2}$.

Równanie $\cos x=0$ jest spełnione dla $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Równanie $\sin x=\frac{1}{2}$ jest spełnione dla $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie    $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź:

$x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ lub $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie $tg2x=2\sin x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy założenia: $\cos 2x\ne 0$, czyli $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Korzystając z tożsamości $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ zapiszmy równanie w postaci:

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=2\sin x$.

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątawzoru na sinus podwojonego kąta, zapiszmy równanie następująco:

$2\sin x·\cos x=2\sin x·\cos 2x$.

Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej:

$\sin x\left(\cos x-\cos 2x\right)=0$.

Stąd otrzymujemy alternatywę równań:

$\sin x=0$ lub $\cos x=\cos 2x$.

Równanie $\sin x=0$ spełniają $x=k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Równanie $\cos x=\cos 2x$ rozwiązujemy, wykorzystując metodę porównywania wartości funkcji cosinus. Równanie ma rozwiązania: $x=2x+2k\pi$ lub $x=-2x+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Stąd dostajemy:

$x=2k\pi$ lub $x=\frac{2k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Sprawdzamy, że żaden element wykluczony z dziedziny nie pokrywa się z elementami rozwiązania.

Odpowiedź: $x=k\pi$ lub $x=2k\pi$ lub $x=\frac{2k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie $\sin 2x+tgx=2$ w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos x\ne 0$, czyli $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Skorzystamy ze wzoru $\sin 2x=2\sin x\cos x$, ale przekształcimy go do postaci związanej z funkcją tangens argumentu $x$:

$\sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{2\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}$.

Teraz licznik i mianownik dzielimy przez ${\cos }^{2}x$ (wolno to zrobić, gdyż z założeń $\cos x\ne 0$) i otrzymujemy:

$\frac{2\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}=\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+1}=\frac{2tgx}{1+{tg}^{2}x}$

W ten sposób doprowadziliśmy do równania z jedną niewiadomą w postaci funkcji trygonometrycznej tangens:

$\frac{2tgx}{1+{tg}^{2}x}+tgx=2$.

Podstawmy $t=tgx$. Otrzymujemy wówczas:

$\frac{2t}{1+t^2}+t=2$.

Po pomnożeniu równania stronami przez $1+t^2$ otrzymujemy równanie wielomianowe:

$t^3-2t^2+3t-2=0$.

Przez obserwację współczynników możemy zauważyć, że suma współczynników jest równa $0$, co oznacza, że pierwiastkiem wielomianu jest $1$. Zapisujemy zatem:

$\left(t-1\right)\left(t^2-t+2\right)=0$.

Wyróżnik trójmianu $t^2-t+2$ jest równy:

$\Delta =1-4·2=-7$, co oznacza, że trójmian nie ma pierwiastków.

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $t=1$, czyli

$tgx=1$. Rozwiązaniem równania jest $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}k$ i $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$