Przeczytaj

Granice jednostronne - przypomnienie

Przypomnijmy definicję granic jednostronnych funkcji w punkcie w sensie Heinego.

Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego

Definicja: Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ , jeśli dla dowolnego ciągu $(x_{n})$ argumentów funkcji $f$ , który jest zwarty w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu $x_{0}$ (tzn. $x_{n} \in (x_{0} - δ, x_{0})$ dla pewnej liczby $δ > 0$ oraz dla każdego $n \in ℕ$ ) ciąg wartości $f (x_{n})$ jest zbieżny do liczby $g$ . Fakt ten zapisujemy następująco

\lim_{x \to x_{_{0}}^{-}} f (x) = g

Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego

Definicja: Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ , jeśli dla dowolnego ciągu $(x_{n})$ argumentów funkcji $f$ , który jest zwarty w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_{0}$ (tzn. $x_{n} \in (x_{0}, x_{0} + δ)$ dla pewnej liczby $δ > 0$ oraz dla każdego $n \in ℕ$ ) ciąg wartości $f (x_{n})$ jest zbieżny do liczby $g$ . Fakt ten zapisujemy następująco

\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = g

Intuicyjnie powyższe definicje oznaczają, że wyznaczając np. granicę lewostronną funkcji w pewnym punkcie, dążymy do tego punktu jedynie z jego lewej strony, tzn. uwzględniamy tylko argumenty mniejsze od tego punktu.

R1dKsK9V9MNMX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięciu nawiasu oraz o ramionach skierowanych do góry. Na lewym ramieniu paraboli oznaczono kilka punktów, które zrzutowano na obie osie. Punkty te to: -2;412, -1;2, -23;32, -16;44. Dodatkowo zaznaczono wierzchołek paraboli i początek układu współrzędnych. Jak możemy zauważyć, im większy argument, tym mniejszą wartość przyjmuje funkcja, co oznaczono poziomą strzałką skierowaną w prawo do początku układu współrzędnych.

Analogicznie w przypadku granicy prawostronnej funkcji w punkcie dążymy do tego punktu jedynie z jego prawej strony, tzn. uwzględniamy tylko argumenty większe od tego punktu.

R3xga7FpwGEUr

Związek granic jednostronnych z granicą funkcji w punkcie

Poniższe twierdzenie podaje związek pomiędzy granicami jednostronnymi funkcji w punkcie oraz granicą funkcji w punkcie.

o istnieniu granicy funkcji w punkcie

Twierdzenie: o istnieniu granicy funkcji w punkcie

Jeśli $f$ : $D_{f} \to ℝ$ posiada w punkcie $x_{0} \in ℝ$ granicę lewo – oraz prawostronną oraz granice te są równe, to wówczas posiada ona także granicę w tym punkcie oraz

\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}} f (x)

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne, tzn. jeśli funkcja posiada granicę w pewnym punkcie, to posiada w tym punkcie również granice jednostronne. Ponadto granice te są sobie równe i dodatkowo równe wartości granicy funkcji w tym punkcie.

Przykład 1

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 4 & dla x ⩽ - 1 \\ 2 - x^{2} & dla x > - 1 \end{cases}

posiada granicę w punkcie $x_{0} = - 1$ . Obliczymy w tym celu granice jednostronne funkcji $f$ w tym punkcie. Weźmy najpierw dowolny ciąg argumentów funkcji $f$ taki, że $x_{n} < - 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - 1$ . Wówczas $f (x_{n}) = 3 x_{n} + 4$ . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 3 \cdot \lim_{n \to + \infty} x_{n} + 4 = 3 \cdot (- 1) + 4 = 1

Zatem

\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = 1

Niech teraz ciąg argumentów $(x_{n})$ będzie taki, że $x_{n} > - 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - 1$ . Wówczas $f (x_{n}) = 2 - x_{n}^{2}$ . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 2 - {(\lim_{n \to + \infty} x_{n})}^{2} = 2 - {(- 1)}^{2} = 2 - 1 = 1

Zatem również w tym przypadku

\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = 1

Ponieważ granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = - 1$ są takie same i równe $1$ , więc funkcja $f$ posiada granicę w tym punkcie oraz

\lim_{x \to - 1} f (x) = 1

Przykład 2

Niech funkcja $f$ : $ℝ \to ℝ$ dana będzie wzorem

f (x) = \{\begin{cases} \frac{4}{2 x + 1} & dla x ⩾ \frac{1}{2} \\ 3 - 4 x & dla x < \frac{1}{2} \end{cases}

Sprawdzimy czy dana funkcja posiada granicę w punkcie $x_{0} = \frac{1}{2}$ . W tym celu weźmy ciąg $(x_{n})$ argumentów funkcji $f$ taki, że $x_{n} > \frac{1}{2}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \frac{1}{2}$ . Wówczas $f (x_{n}) = \frac{4}{2 x_{n} + 1}$ i z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2

Wynika stąd, że

\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} f (x) = 2

Niech teraz ciąg $(x_{n})$ argumentów funkcji $f$ będzie taki, że $x_{n} < \frac{1}{2}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \frac{1}{2}$ . Wówczas $f (x_{n}) = 3 - 4 x_{n}$ . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1

Oznacza to, że

\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = 1

Jak widzimy granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = \frac{1}{2}$ są różne. Wnioskujemy stąd, że funkcja $f$ nie posiada w tym punkcie granicy.

Przykład 3

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6}{|x - 1|}

posiada granicę w punkcie $x_{0} = 1$ . Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej możemy rozpatrzeć przypadki

Jeśli $x > 1$ , to wówczas $x - 1 > 0$ oraz

f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6}{|x - 1|} = \frac{(x - 1) (x - 6)}{x - 1} = x - 6

Jeśli $x < 1$ , to wówczas $x - 1 < 0$ oraz

f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6}{|x - 1|} = \frac{(x - 1) (x - 6)}{- (x - 1)} = 6 - x

Wzór funkcji możemy zatem zapisać w postaci

f (x) = \{\begin{cases} x - 6 & dla x > 1 \\ 6 - x & dla x < 1 \end{cases}

Weźmy teraz dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ taki, że $x_{n} > 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ . Wówczas $f (x_{n}) = x_{n} - 6$ . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika zatem, że

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 1 - 6 = - 5

Stąd $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 5$ . Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ taki, że $x_{n} < 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ , otrzymujemy $f (x_{n}) = 6 - x_{n}$ . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika tym razem, że

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 6 - 1 = 5

Stąd $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 5$ . Ponieważ granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 1$ są różne, więc funkcja ta nie posiada granicy w tym punkcie.

Przykład 4

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f (x) = \frac{6}{|x| + 2}

posiada granicę w punkcie $x_{0} = 0$ . Zauważmy, że dziedziną funkcji $f$ jest cały zbiór liczb rzeczywistych, tzn. $D_{f} = ℝ$ . Na początek zapiszemy powyższy wzór bez użycia wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki

Jeśli $x ⩾ 0$ , to wówczas

f (x) = \frac{6}{x + 2}

Jeśli $x < 0$ , to wówczas

f (x) = \frac{6}{2 - x}

Zatem wzór funkcji możemy zapisać w postaci

f (x) = \{\begin{cases} \frac{6}{x + 2} & dla x ⩾ 0 \\ \frac{6}{2 - x} & dla x < 0 \end{cases}

Wyznaczymy granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 0$ . Niech najpierw $(x_{n})$ będzie dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ takim, że $x_{n} > 0$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0$ . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{6}{x_{n} + 2} = \frac{6}{0 + 2} = 3

Stąd $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 3$ .

Niech teraz $(x_{n})$ będzie dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ takim, że $x_{n} < 0$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0$ . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{6}{2 - x_{n}} = \frac{6}{2 - 0} = 3

Stąd $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 3$ . Ponieważ granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 0$ jest równa granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie więc funkcja ta posiada granicę w punkcie $x_{0} = 0$ oraz

\lim_{x \to 0} f (x) = 3

Słownik

wartość bezwzględna liczby

wartość bezwzględną (moduł) liczby $x$ definiujemy następująco

|x| = \{\begin{cases} x & dla x ⩾ 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

ciąg argumentów funkcji

ciąg $(x_{n})$ którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji $f$ , tzn. ciąg spełniający warunek

\forall_{n \in ℕ} x_{n} \in D_{f}

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Granice jednostronne - przypomnienie

Związek granic jednostronnych z granicą funkcji w punkcie

Słownik