Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest rozbieżny. Uzasadnimy, że dla $k\ne 0$ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także rozbieżny.

Rozwiązanie

Ciąg sum częściowych szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$

jest następującej postaci:

$s_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$.

Ciąg sum częściowych szeregu

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$

jest następującej postaci:

$t_n=k·a_1+k·a_2+k·a_3+\dots +k·a_n=$

$=k\left(a_1+a_2+a_3+\dots +a_n\right)=k·s_n$.

Ponieważ ciąg $\left(s_n\right)$ jest rozbieżny, zatem ciąg $\left(t_n\right)=\left(k\cdot s_n\right)$ jest także rozbieżny.

Zatem udowodniliśmy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także rozbieżny.

Jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest rozbieżny oraz k jest różne od 0, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także rozbieżny.

Jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest rozbieżny lub granicą ciągu $\left(a_n\right)$ jest liczba niezerowa, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest rozbieżny.

Zbadamy zbieżność szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n+1}{100n+7}$.

Rozwiązanie

Obliczamy granicę

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{100n+7}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{100+\frac{7}{n}}=\frac{1}{100}$.

Ponieważ ciąg $a_n=\frac{n+1}{100n+7}$ jest zbieżny do liczby różnej od 0, zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n+1}{100n+7}$ jest rozbieżny.

Zbadamy zbieżność szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n}n+1}{5n-3}$.

Rozwiązanie

Przekształćmy ciąg $\left(a_n\right)$ do postaci $a_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n}n+1}{5n-3}=\frac{{\left(-1\right)}^n+\frac{1}{n}}{5-\frac{3}{n}}$.

Jeżeli $n=2k$, gdzie $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, to $a_{2k}=\frac{1+\frac{1}{2k}}{5-\frac{3}{2k}}$ i

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{2k}}{5-\frac{3}{2k}}=\frac{1}{5}$.

Jeżeli $n=2k-1$, gdzie $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, to $a_{2k-1}=\frac{-1+\frac{1}{2k+1}}{5-\frac{3}{2k+1}}$ i

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{-1+\frac{1}{2k+1}}{5-\frac{3}{2k+1}}=-\frac{1}{5}$.

Zatem ciąg $a_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n}n+1}{5n-3}$ jest rozbieżny, a zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n}n+1}{5n-3}$ jest rozbieżny.

Zbadamy zbieżność ciągu $\sum _{n=1}^{\infty }n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)$.

Rozwiązanie

Obliczamy granicę ciągu:

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\left)\right(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}=$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)}=1$

Ponieważ granicą ciągu $a_n=n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)$ jest $1$, zatem na podstawie warunku wystarczającego rozbieżności szeregu możemy stwierdzić, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)$ jest rozbieżny.

szeregiem liczbowym o wyrazach $a_1,a_2,a_3,...$ nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$:

$s_1=a_1$,

$s_2=a_1+a_2$,

$s_3=a_1+a_2+a_3$,

...

jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu; jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym