Przeczytaj

Wyprowadzimy teraz wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeń. W tym celu sześcian zapiszemy w postaci iloczynu dwumianu oraz kwadratu dwumianu i wykonamy mnożenie.

{(a - b)}^{3} = (a - b) {(a - b)}^{2} = (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Stąd:

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego, minus sześcian drugiego wyrażenia.

Korzystając ze wzoru na sześcian różnicy, można podnosić do sześcianu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

{(x - 1)}^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} - 1^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

{(a - \sqrt[3]{3})}^{2} = a^{3} - 3 \cdot a^{2} \cdot \sqrt[3]{3} + 3 \cdot a \cdot \sqrt[3]{9} - 3 = a^{3} - 3 \sqrt[3]{3} a^{2} + 3 \sqrt[3]{9} a - 3

{(x^{2} - 4)}^{3} = x^{6} - 3 \cdot x^{4} \cdot 4 + 3 \cdot x^{2} \cdot 4^{2} - 4^{3} = x^{6} - 12 x^{4} + 48 x^{2} - 64

{(2 x - 3 a)}^{3} = {(2 x)}^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 a + 3 \cdot 2 x \cdot {(3 a)}^{2} - {(3 a)}^{3} =

= 8 x^{3} - 36 a x^{2} + 54 x a^{2} - 27 a^{3}

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na sześcian różnicy.

{(x y - 2 \sqrt{3})}^{3} = {(x y)}^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot y^{2} \cdot 2 \sqrt{3} + 3 \cdot x y {(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{3} =

= x^{3} y^{3} - 6 \sqrt{3} x^{2} y^{2} + 36 x y - 24 \sqrt{3}

{(a^{4} x^{3} - 0,1)}^{3} = a^{12} x^{9} - 3 \cdot a^{8} x^{6} \cdot 0,1 + 3 \cdot a^{4} x^{3} {(0,1)}^{2} - 0,001 =

= a^{12} x^{9} - 0,3 a^{8} x^{6} + 0,03 a^{4} x^{3} - 0,001

Wykorzystanie wzoru na sześcian różnicy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie ${(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} + 2 x^{3}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - 0, 5$ .

{(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} = (1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}) - (1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}) + 2 x^{3}

{(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} = 1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3} - 1 - 3 x - 3 x^{2} - x^{3} + 2 x^{3}

{(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} = - 6 x

- 6 \cdot 0, 5 = - 3

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $(- 3)$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

RoBNYNX79w2jz

Grafika przedstawia wyrażenie przedstawione za pomocą kółek oraz kwadratów. Wyrażenie jest następujące: kwadrat do potęgi trzeciej minus trzy kwadraty do potęgi drugiej razy koło plus trzy kwadraty razy koło do potęgi drugiej minus koło do potęgi trzeciej równa się otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

125 a^{3} - 75 a^{2} + 15 a - 1 = (5 a - 1) (5 a - 1) (5 a - 1)

27 x^{3} - 135 x^{2} y + 225 x y^{2} - 125 y^{3} = (3 x - 5 y) (3 x - 5 y) (3 x - 5 y)

3 a^{3} - 9 a^{2} c + 9 a c^{2} - 3 c^{3} = 3 (a - c) (a - c) (a - c)

k^{3} - 3 \sqrt{3} k^{2} + 9 k - 3 \sqrt{3} = (k - \sqrt{3}) (k - \sqrt{3}) (k - \sqrt{3})

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicyWzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy można zastosować, obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

{(3 - \sqrt{3})}^{3} + 30 \sqrt{3} = 27 - 27 \sqrt{3} + 27 - 3 \sqrt{3} + 30 \sqrt{3} = 54

{(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}^{3} - (62 \sqrt{2} - 52 \sqrt{5}) = {(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}^{3} - {(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}^{3} = 0

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy

sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego, minus sześcian drugiego wyrażenia

Wprowadzenie

Infografika

Słownik