Przeczytaj

Warto przeczytać

Sposób obliczania niepewności pomiarów zależy od tego, czy zostały one wykonane w sposób bezpośredni, czy pośredni.

Przypomnijmy, że

Pomiar bezpośredni to taki, który jest wykonywany przy użyciu jednego przyrządu i od razu daje ostatezczny wynik. Innymi słowy: w takich pomiarach wartość wielkości mierzonej uzyskuje się bezpośrednio, tj. bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń. Przykładami takich pomiarów są: pomiar długości stołu przy użyciu linijki, pomiar średnicy pręta przy użyciu suwmiarki, pomiar czasu przy użyciu stopera, czy pomiar napięcia przy użyciu woltomierza.
Pomiar pośredni (tzw. złożony) polega natomiast na bezpośrednim zmierzeniu jednej lub kilku różnych wielkości fizycznych i obliczeniu wartości poszukiwanej wielkości na podstawie wzoru wiążącego wielkości mierzone bezpośrednio. Przykładami pomiarów pośrednich są: wyznaczenie pola powierzchni bocznej walca na podstawie pomiarów jego wysokości i średnicy podstawy, wyznaczenie rezystancji na podstawie pomiaru natężenia prądu i napięcia, czy wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie długości i okresu drgań wahadła matematycznego (zob. materiał pt. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego).

O tym, w jaki sposób wyznacza się niepewności pomiarów bezpośrednich, możesz przeczytać w materiale pt. Niepewność całkowita. W tym materiale omówimy metodę wyznaczania niepewności pomiarów pośrednich. Będziemy przy tym zakładać, że znamy wszystkie niepewności tych wielkości, które zostały wyznaczone w sposób bezpośredni i są nam potrzebne do wyznaczenia wielkości mierzonej pośrednio.

Metodę, o której będzie mowa, nazywa się często prawem przenoszenia (lub składania) niepewności, gdyż pokazuje ona, w jaki sposób niepewności pomiarów bezpośrednich wpływają (tj. przenoszą się) na niepewność pomiaru pośredniego.

W dalszej części tego materiału przedstawimy dwa algorytmyalgorytmalgorytmy, dzięki którym łatwo przyswoisz sobie metodę liczenia niepewności w pomiarach pośrednich. Pierwszy z tych algorytmów dotyczy metody liczenia niepewności w sytuacji, gdy pomiar pośredni zależy tylko od jednej wielkości mierzonej bezpośrednio. Drugi algorytm uogólnia metodę liczenia niepewności pomiarów pośrednich na przypadek wielu pomiarów bezpośrednich. Wykorzystanie obydwu algorytmów zostało zilustrowane odpowiednio dobranymi przykładami.

Ważne!

Algorytm składania niepewności - przypadek JEDNEJ zmiennej wejściowej

Załóżmy, że wielkość fizyczna $y$ , którą chcemy wyznaczyć, zależy tylko od jednej wielkości $x$ , którą można wyznaczyć bezpośrednio:

$y=f(x).$

Aby obliczyć niepewność pomiarową $u(y)$ tej wielkości, należy:

KROK 1. wyznaczyć niepewność pomiarowąniepewność pomiarowa standardowaniepewność pomiarową $u(x)$ ,

KROK 2. skorzystać z poniższego wzoru:

$u(y)=\frac{1}{2}\left|f(x+u(x))-f(x-u(x))\right|.$

R1ULcGhHLlX1X

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany przy pomocy czarnych strzałek. Pionowa oś wartości skierowana jest ku górze i oznaczona symbolem mała litera y. Oś pozioma skierowana jest w prawo i oznaczona symbolem mała litera x. Na osi mała litera y oznaczono trzy punkty: mała litera y i w nawiasie mała litera x oraz mała litera y i w nawiasie mała litera x odjąć mała litera u i w nawiasie mała litera x poniżej pierwszego z punktów i mała litera y i w nawiasie mała litera x dodać mała litera u i w nawiasie mała litera x powyżej pierwszego punktu. Na wykresie poprowadzono w prawą stronę niebieską ciągłą poziomą linię na wysokości punktu mała litera y i w nawiasie mała litera x. Na wysokości pozostałych dwóch punktów poprowadzono również dwie poziome niebieskie, ale przerywane linie, także w prawą stronę. Przerywane linie odległe są od siebie o dwa razy mała litera u i w nawiasie mała litera y. Na osi mała litera x również zaznaczono trzy punkty. Jeden z nich oznaczona jako mała litera x. Drugi znajdujący się bliżej początku układu współrzędnych oznaczono, jako mała litera x odjąć mała litera u i w nawiasie mała litera x. Trzeci punkt zaznaczono najbardziej po prawej stronie na osi mała litera x i oznaczono jako mała litera x dodać mała litera u i w nawiasie mała litera x. Z punktu mała litera x poprowadzono ciągłą pionową niebieską linię skierowaną ku górze. Z pozostałych punktów na osi mała litera x poprowadzono również pionowe niebieskie, ale przerywane linie skierowane ku górze. Przerywane pionowe linie odległe są od siebie o dwa razy mała litera u i w nawiasie mała litera x. Niebieskie linie ciągłe pionowa i pozioma znajdują się dokładnie pomiędzy liniami przerywanymi. Przez punkty przecięcia się linii poziomych i pionowych przechodzi funkcja rosnąca narysowana w postaci czerwonej linii ciągłej. — Rys. 1. Ilustracja przenoszenia niepewności w sytuacji, gdy szukana wielkość y jest obliczana na podstawie wyniku pomiaru bezpośredniego jednej wielkości x
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Na Rys. 1. pokazano, w jaki sposób należy interpretować wzór (2) i na czym polega przenoszenie niepewności pomiarowych w przypadku pomiarów pośrednich zależnych tylko od jednego pomiaru bezpośredniego. Zwróć uwagę, że dzięki zależności $y=f(x)$ każdy punkt należący do odcinka niepewności $(x-u(x),x+u(x))$ , wokół bezpośrednio zmierzonej wartości $x$ , jest odwzorowywany na punkt należący do przedziału $(y-u(y),y+u(y))$ wokół wartości $y$ pomiaru pośredniego. Zatem, o ile jest to zależność monotoniczna, przedziałowi niepewności zmiennej niezależnej odpowiada pewien przedział niepewności zmiennej zależnej. Związek między długościami tych przedziałów zależy od tempa wzrostu tej funkcji.

Przykład 1. Pole przekroju poprzecznego walca

Przekrój poprzeczny stalowego pręta ma kształt koła, którego średnica $d=1,97~\text{cm}$ została zmierzona suwmiarką z dokładnością $\Delta d=0,01~\text{cm}$ . Ile wynosi pole powierzchni tego przekroju i jaka jest jego niepewność pomiarowa?

R116G8If6i8PC

Rys. 2. Na trójwymiarowej ilustracji przedstawiono schemat suwmiarki, której szczęki przeznaczone do wykonania pomiaru wymiarów zewnętrznych skierowane są w dół. Pomiędzy szczękami znajduje się szary walec, którego średnica jest mierzona. Pomiędzy szczękami na tle walca zaznaczony jest rozstaw szczęk w postaci czerwonej, dwustronnej strzałki zakończonej na końcach grotami. Pod dwustronną strzałką widnieje czerwony napis mała litera d równa się jeden i dziewięćdziesiąt siedem setnych centymetra. Poniżej, nieco po prawej stronie ilustracji przedstawiono zbliżenie noniusza suwmiarki. Na noniuszu głównym widoczny jest wynik nieco poniżej dwudziestu milimetrów. Na noniuszu precyzyjnym widać, że znacznik oznaczającym siedem dziesiątych milimetra pokrywa się z jednym ze znaczników noniusza głównego. Przedłużenie tych dwóch noniuszy oznaczone jest cienką czerwoną linią. Wynik ten oznacza, że średnica walca wynosi dziewiętnaście i siedem dziesiątych centymetra. Na podstawie walca widoczny jest czerwony napis wielka litera P równa się znak zapytania. Oznacza to, że w oparciu o znajomość średnicy walca możemy obliczyć pole jego podstawy. Na noniuszu precyzyjnym zaznaczono w postaci dwustronnej czerwonej strzałki odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi znacznikami. Wynosi ona jedną dziesiąta milimetra w przypadku zaprezentowanej suwmiarki. Odległość ta stanowi precyzję zaprezentowanego urządzenia pomiarowego. — Rys. 2. Pomiar średnicy poprzecznego przekroju pręta za pomocą suwmiarki.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Pole przekroju pręta można obliczyć ze znanego wzoru:

$P=\frac{\pi}{4}d^2=3,0484467~\text{cm}^2,$

gdzie przyjęliśmyliczba Piprzyjęliśmy $\pi\simeq 3,142$ . Uzyskany wynik, podany z dokładnością do dziesięciotysięcznej części $\text{mm}^2$ , wygląda nieco dziwacznie. Dopiero gdy obliczymy niepewność pomiarową, będziemy mogli go zaokrąglić do odpowiedniej liczby cyfr znaczących.

W dalszej części tego przykładu, zamiast symbolu $P$ będziemy pisali $P(d)$ , zaznaczając w ten sposób, że pole przekroju (tj. pole koła) obliczamy, korzystając z bezpośredniego pomiaru średnicy.

Niepewność pomiarową pola przekroju pręta znajdujemy, realizując kolejne kroki zamieszczonego powyżej algorytmu:

KROK 1. Wyznaczamy niepewność związaną z pomiarem średnicy. Niepewność granicznaniepewność pomiarowa granicznaNiepewność graniczna tego pomiaru, która jest związana z rozdzielczością suwmiarki, wynosi $\Delta d=0,01~\text{cm}$ .

Niepewność (standardowa)niepewność standardowa typu BNiepewność (standardowa) wobec tego równa jest $u(d)=\frac{\Delta d}{\sqrt{3}}\simeq0,0058~\text{cm}$ .

KROK 2. Korzystamy ze wzoru (2):

$u(P)=\frac{1}{2}\left|P(d+u(d))-P(d-u(d))\right|.$

Podstawiając w tym wyrażeniu: $P(d+u(d))=\frac{\pi}{4}(d+u(d))^2$ i $P(d-u(d))=\frac{\pi}{4}(d-u(d))^2$ , a następnie - korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy dwóch liczb - dostajemy

$u(P)=\frac{\pi}{2}d~u(d)=0,017950246~\text{cm}^2\simeq0,018~\text{cm}^2\ .$

Zgodnie z zaleceniami niepewność pomiarową podaliśmy z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Teraz możemy już zapisać ostateczny wynik wykonanego pomiaru pośredniego. Pole przekroju poprzecznego pręta jest równe (por. wzory (3) i (5)):

$P=3,048(0,018)~\text{cm}^2.$

Względna niepewność wykonanego pomiaru pośredniego wynosi więc

$\frac{u(P)}{P}=\frac{0,018}{3,048}\simeq0,006=0,6\text{%}.$

Jest ona mniejsza niż 1%, co jest bardzo przyzwoitym wynikiem jeśli chodzi o pomiary wykonane w pracowni szkolnej. Zauważ też, że ta niepewność jest dwukrotnie większa od niepewności pomiaru bezpośredniego:

$\frac{u(d)}{d}=\frac{0,0058}{1,97}\simeq0,003=0,3\text{%}.$

Ważne!

Algorytm składania niepewności - przypadek WIELU zmiennych wejściowych

Załóżmy, że wielkość fizyczna $y$ , którą chcemy wyznaczyć, zależy od dwóch innych wielkości (np. $x_1$ i $x_2$ ), które można wyznaczyć bezpośrednio:

$y=f(x_1,x_2).$

Aby wyznaczyć niepewność pomiarową $u(y)$ tej wielkości, należy kolejno:

KROK 1. wyznaczyć standardowe niepewności pomiaroweniepewność pomiarowa standardowastandardowe niepewności pomiarowe wszystkich wielkości fizycznych zmierzonych w sposób bezpośredni. W naszym przypadku będą to niepewności $u(x_2)$ i $u(x_2)$ ,

KROK 2. obliczyć tzw. udziały niepewności: $u_1(y)$ i $u_2(y)$ , jakie te bezpośrednio zmierzone wielkości wnoszą do niepewności wielkości mierzonej pośrednio,

$u_1(y)=\frac{1}{2}\left|f(x_1+u(x_1),x_2)-f(x_1-u(x_1),x_2)\right|,$

$u_2(y)=\frac{1}{2}\left|f(x_1,x_2+u(x_2))-f(x_1,x_2-u(x_2))\right|,$

KROK 3. wyznaczyć niepewność $u(y)$ jako pierwiastek z sumy kwadratów wszystkich udziałów:

u (y) = \sqrt{u_{1}^{2} (y) + u_{2}^{2} (y)} .

Zauważ, że powyższe wzory można łatwo uogólnić na dowolną liczbę wielkości wejściowych, tzn. takich, które są mierzone w sposób bezpośredni. W szczególności gdy mamy do czynienia z funkcją tylko jednej zmiennej, drugi z przedstawionych algorytmów sprowadza się do pierwszego.

Przykład 2. Pole powierzchni bocznej walca

Wysokość stalowego pręta o przekroju poprzecznym w kształcie koła wynosi $h=15,2~cm$ , a średnica jego przekroju jest równa $d=1,97~cm$ . Wysokość pręta zmierzono taśmą mierniczą z dokładnością $\Delta h=0,1~cm$ , a średnicę zmierzono suwmiarką z dokładnością $\Delta d=0,01~cm$ . Wiedząc to, zmierz pole powierzchni bocznej tego pręta. Wynik podaj wraz z niepewnością pomiarową.

R1cGY9F5C5Isx

Rys. 3. Na ilustracji zaprezentowano trójwymiarowy szary walec ułożony poziomo. Od góry do powierzchni bocznej przyłożona jest miarka budowlana. Miarka skalda się z żółtej rozwijanej taśmy, na której widoczna jest podziałka oraz plastikowego bębenka, do którego jest zwijana, gdy nie jest używana. Obok nieco poniżej i po prawej stronie widoczne jest powiększenie krawędzi walca z przyłożoną do niego miarką. Krawędź walca znajduje się blisko znacznika piętnastu i dwóch dziesiątych centymetra. Pomiędzy znacznikami piętnaście i dwie dziesiąte centymetra i piętnaście i trzy dziesiąte centymetra zaznaczono w postaci czerwonej dwustronnej strzałki odległość. Odległość ta wynosi jeden milimetr i stanowi dokładność przedstawionego przyrządu pomiarowego. Odległość ta oznaczona jest symbolem wielka grecka litera delta i mała litera h opisane czerwonym kolorem. — Rys. 3. Pomiar długości pręta za pomocą taśmy mierniczej.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Pole powierzchni bocznej walca obliczamy ze wzoru

$S=\pi dh=94,084048~\text{cm}^2.$

W dalszej części tego przykładu zamiast symbolu $S$ będziemy pisali $S(d,h)$ , zaznaczając w ten sposób, że pole powierzchni bocznej zależy od dwóch zmiennych, a pomiar jest pośredni - wartość wyniku wyznaczamy, korzystając z bezpośrednich pomiarów średnicy $d$ i wysokości $h$ pręta. Niepewność tego pomiaru pośredniego znajdujemy przez realizację kolejnych trzech kroków algorytmu:

KROK 1. Wyznaczamy niepewności pomiaroweniepewność standardowa typu Bniepewności pomiarowe pomiarów bezpośrednich:

$u(d)=\frac{\Delta d}{\sqrt{3}}\simeq0,0058~\text{cm}~,\hspace{1cm}u(h)=\frac{\Delta h}{\sqrt {3}}\simeq0,058~\text{cm}\ .$

KROK 2. Obliczamy udziały niepewności pomiarów bezpośrednich, zaokrąglając do czterech cyfr znaczących dla potrzeb dalszych obliczeń:

$u_d(S)=\frac{1}{2}\left|S(d+u(d),h)-S(d-u(d),h)\right|=\pi~h~u(d)\simeq0,2770~\text{cm}^2\ ,$

$u_h(S)=\frac{1}{2}\left|S(d,h+u(h))-S(d,h-u(h))\right|=\pi~d~u(h)\simeq0,3590~\text{cm}^2\ .$

KROK 3. Wyznaczamy niepewność pomiaru objętości jako pierwiastek z sumy kwadratów wszystkich udziałów. Wynik zaokrąglamy - zgodnie z zasadami - do dwóch cyfr znaczących:pole powierzchni bocznej pręta jest równe

$u(S)=\sqrt{u_d^{~2}(S)+u_h^{~2}(S)}\simeq0,45~\text{cm}^2\ .$

Szukane pole powierzchni bocznej pręta jest więc równe

S = 94, 08 (0, 45) {cm}^{2} .

Względna niepewność wykonanego pomiaru wynosi

$\frac{u(S)}{S}=\frac{0,45}{94,08}\simeq0,005=0,5\text{%}.$

Jest ona mniejsza niż 1%. Zauważ też, że ta niepewność jest większa od każdej z niepewności względnych pomiarów bezpośrednich, gdy są one brane osobno, ale mniejsza od sumy tych niepewności:

$\frac{u(d)}{d}=\frac{0,0058}{1,97}\simeq0,003=0,3\text{%},\hspace{1cm}\frac{u(h)}{h}=\frac{0,058}{15,2}\simeq 0,004=0,4\text{%}.$

Dla zainteresowanych

W fizyce wiele wzorów ma postać: sumy, różnicy, iloczynu lub ilorazu różnych wielkości fizycznych. Z tego powodu w wielu zastosowaniach praktycznych zachodzi potrzeba wyznaczania niepewności pomiarów pośrednich, w których mierzoną wielkość uzyskuje się dodając, odejmując, mnożąc lub dzieląc wielkości mierzone bezpośrednio. Zamieszczone poniżej zestawienie wzorów na niepewności pomiarów pośrednich może okazać się pomocne w takich przypadkach. Najtrudniejszy z zmieszczonych wzorów wyprowadzamy, w pozostałych przypadkach wyprowadzenie pozostawiamy zainteresowanym czytelnikom.

Funkcje jednej zmiennej: $y=f(x)$

funkcja liniowa: $y=ax$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u(y)=|a|u(x)$ ,
funkcja kwadratowa: $y=x^2$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u(y)=2xu(x)$ ,
funkcja potęgowa, z całkowitym wykładnikiem: $y=x^n$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u(y)=|n|x^{n-1}u(x)$ .

Ad. 3.

Zakładając, że $x\gt 0$ i korzystając z przybliżenia: $(1\pm\varepsilon)^n\stackrel{|\varepsilon|\ll 1}\simeq 1\pm n\varepsilon$ , dostajemy:

$u(y)=\frac{1}{2}\left|(x+u(x))^n-(x+u(x))^n\right|$

$\hspace{1cm}=\frac{1}{2}\left|x^n\left(1+\frac{u(x)}{x}\right)^n-x^n\left(1-\frac{u(x)}{x}\right)^n\right|$

$\hspace{1cm}\simeq\frac{x^n}{2}\left|\left(1+n\frac{u(x)}{x}-1+n\frac{u(x)}{x}\right)\right|$

$\hspace{1cm}=\frac{x^n}{2}\left|2n\frac{u(x)}{x}\right|=|n|x^{n-1}u(x).$

Funkcje dwóch zmiennych: $y=f(x_1,x_2)$

niepewność wielkości $y$ ma zawsze postać pierwiastka z sumy kwadratów udziałów poszczególnych niepewności, $u(y)=\sqrt{u_1^2(y)+u_2^2(y)}$ , gdzie dla

sumy: $y=x_1+x_2$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u_1(y)=u(x_1)$ , $u_2(y)=u(x_2)$ ,
różnicy: $y=x_1-x_2$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u_1(y)=u(x_1)$ , $u_2(y)=u(x_2)$ ,
iloczynu: $y=x_1x_2$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u_1(y)=x_2u(x_1)$ , $u_2(y)=x_1u(x_2)$ ,
ilorazu: $y=\frac{x_1}{x_2}$ $\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}$ $u_1(y)=\frac{1}{x_2}u(x_1)$ , $u_2(y)=\frac{x_1}{x_2^2}u(x_2)$ .

Słowniczek

algorytm

(ang. algorithm) – skończony ciąg jasno zdefiniowanych czynności koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań, sposób postępowania prowadzący do rozwiązania problemu.

liczba Pi

(ang. Pi, ozn. $\pi$ ) – stosunek obwodu okręgu do długości jego średnicy. Stosunek ten jest liczbą niewymierną, o przybliżonej wartości $3,141593$ . Najczęściej podawaną, przybliżoną wartością tej liczby jest $\pi\simeq 3,14$ . W obliczeniach związanych z niepewnością pomiarów pośrednich należy posługiwać się takim jej przybliżeniem, które nie wpływa na niepewność tych pomiarów.

niepewność pomiarowa graniczna

zwana dawniej niepewnością maksymalną - niepewność pomiaru wielkości fizycznej $x$ , oznaczana symbolem $\Delta x$ , związana z rozdzielczością i dokładnością przyrządu pomiarowego.

niepewność pomiarowa standardowa

(ang. uncertainty of measurement) zwana również niepewnością standardową - niepewność pomiaru wielkości fizycznej $x$ , oznaczana symbolem $u(x)$ , związana z rozrzutem wyników, które można uzyskać w serii niezależnych pomiarów wykonanych w powtarzalnych warunkach. W przypadku pomiarów bezpośrednich mamy dwa rodzaje niepewności standardowych: niepewność typu Aniepewność standardowa typu Aniepewność typu A (wyznaczoną w oparciu o statystyczne metody opracowania wyników) i niepewność typu Bniepewność standardowa typu Bniepewność typu B (wyznaczoną w oparciu o naukowy osąd badacza wykonującego pomiary i biorącego pod uwagę dostępne informacje nt. rozdzielczości przyrządów pomiarowych, wyniki poprzednich pomiarów itd.).

niepewność standardowa typu A

(ang. type A measurement uncertainty) - w sytuacji, gdy wynik pomiaru bezpośredniego jest średnią arytmetyczną z serii pomiarów, niepewność ta jest wyrażona odchyleniem standardowym wielkości średniej.

niepewność standardowa typu B

(ang. type B measurement uncertainty) - w sytuacji, gdy dysponujemy pojedynczym bezpośrednim pomiarem wielkości $x$ z niepewnością granicznąniepewność pomiarowa granicznaniepewnością graniczną $\Delta x$ , niepewność ta jest równa $u(x)=\frac{\Delta x}{\sqrt{3}}.$

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Przykład 1. Pole przekroju poprzecznego walca

Przykład 2. Pole powierzchni bocznej walca

Słowniczek