Przeczytaj

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie jest definicją typowo arytmetyczną i wykorzystuje pojęcia otoczeniaotoczenie punktuotoczenia oraz sąsiedztwasąsiedztwo punktusąsiedztwa punktu. Spójrzmy, jak ona brzmi.

Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Definicja: Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Liczbę $g \in ℝ$ nazywamy granicą funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ , jeśli dla dowolnej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $δ > 0$ taka, że dla każdego argumentu funkcji $f$ należącego do sąsiedztwa punktu $x_{0}$ o promieniu $δ$ , wartość funkcji $f$ w tym argumencie należy do otoczenia liczby $g$ o promieniu $ε$ .

Powyższą definicję można intuicyjnie rozumieć w następujący sposób: biorąc otoczenieotoczenie punktuotoczenie $O (g, ε)$ liczby rzeczywistej $g$ o dowolnym promieniu $ε > 0$ znajdziemy sąsiedztwosąsiedztwo punktusąsiedztwo $S (x_{0}, δ)$ punktu $x_{0} \in ℝ$ takie, że wartości funkcji w każdym argumencie należącym do znalezionego sąsiedztwa należeć będą do wziętego wcześniej otoczenia liczby $g$ . Na poniższym rysunku przedstawiona została interpretacja geometryczna definicji granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego.

R17IADcfYQ4uv

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y i poziomej osi x. Na płaszczyźnie znajduje się krzywa, która podpisana została literą f. Na osi x po prawej stronie od środka układu współrzędnych zaznaczone zostały trzy punkty kolejno patrząc od lewej strony: x0−δ, x0, x0+δ. Punkty te są niezamalowane i zostały objęte klamrą, która jest podpisana: S ( x 0 ; δ ) . Na osi y również zaznaczone zostały 3 punkty, kolejno patrząc od dołu: g−ε, g, g+ε. Przy czym pierwszy i ostatni punkt nie są zamalowane, a punkt oznaczony literą g został zamalowany. Wszystkie 3 punkty zostały objęte klamrą z podpisem O ( g n ε ) . Z punktów zaznaczonych na osiach poprowadzone zostały linie przerywane, które są równoległe do osi. Krzywa f przechodzi przez punkty, w których przecinają się linie przerywane oraz przecina oś y poniżej punktów znajdujących się na tej osi.

Jak korzystać z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie?

Zaletą definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie jest fakt, że nie wykorzystuje ona innych pojęć matematycznych takich jak np. granica ciągu nieskończonego. Bazuje jedynie na zwykłej arytmetyce. Wadą jest jednak to, że korzystając z definicji Cauchy'ego na ogół nie jesteśmy w stanie obliczyć granicy funkcji w zadanym punkcie. Definicja służy przede wszystkim do wykazywania, że dana z góry liczba rzeczywista jest granicą funkcji w zadanym punkcie. Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób możemy tego dokonać.

Przykład 1

Wykażemy, że

\lim_{x \to 2} (3 x - 1) = 5

Zgodnie z definicją Cauchy'ego bierzemy dowolną liczbę $ε > 0$ . Musimy wybrać liczbę rzeczywistą $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = 3 x - 1$ spełniających nierówności $0 < |x - 2| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - 5| < ε$ . Spróbujmy przekształcić lewą stronę ostatniej nierówności podstawiając w miejsce $f (x)$ wzór naszej funkcji

|f (x) - 5| = |3 x - 1 - 5| = |3 x - 6| = 3 |x - 2|

Otrzymany wynik sugeruje aby przyjąć $δ = \frac{ε}{3}$ , gdyż wówczas dla każdego $x \in D_{f}$ takiego, że $0 < |x - 2| < δ$ otrzymamy

|f (x) - 5| = 3 |x - 2| < 3 \cdot δ = 3 \cdot \frac{ε}{3} = ε

co na mocy definicji Cauchy'ego dowodzi, że

\lim_{x \to 2} (3 x - 1) = 5

Przykład 2

Wykażemy, że

\lim_{x \to - 1} (x^{2} + 2 x) = - 1

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Dobierzemy liczbę $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = x^{2} + 2 x$ spełniających nierówności $0 < |x + 1| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - (- 1)| < ε$ . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

|f (x) - (- 1)| = |x^{2} + 2 x + 1| = |{(x + 1)}^{2}| = {|x + 1|}^{2}

Ponieważ wiemy, że $|x + 1| < δ$ więc ${|x + 1|}^{2} < δ^{2}$ . Jeśli zatem przyjmiemy $δ = \sqrt{ε}$ , to otrzymamy

|f (x) - (- 1)| = {|x + 1|}^{2} < δ^{2} = {(\sqrt{ε})}^{2} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to - 1} (x^{2} + 2 x) = - 1

Przykład 3

Wykażemy, że

\lim_{x \to 3} (2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x) = 54

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Dobierzemy liczbę $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = 2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x$ spełniających nierówności $0 < |x - 3| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - 54| < ε$ . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

|f (x) - 54| = |2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x - 54| = |2 {(x - 3)}^{3}| = 2 {|x - 3|}^{3}

Ponieważ $|x - 3| < δ$ więc ${|x - 3|}^{3} < δ^{3}$ . Jeśli zatem przyjmiemy $δ = \sqrt[3]{\frac{ε}{2}}$ , to otrzymamy

|f (x) - 54| = 2 {|x - 3|}^{3} < 2 δ^{3} = 2 {(\sqrt[3]{\frac{ε}{2}})}^{3} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wynika, że

\lim_{x \to 3} (2 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x) = 54

Przykład 4

Wykażemy, że

\lim_{x \to 0} (x^{3} + x) = 0

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Dobierzemy liczbę $δ > 0$ tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji $f (x) = x^{3} + x$ spełniających nierówności $0 < |x - 0| < δ$ prawdziwa była nierówność $|f (x) - 0| < ε$ . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

|f (x) - 0| = |x (x^{2} + 1)| = |x| (x^{2} + 1)

Ponieważ $|x| < δ$ więc podnosząc nierówność stronami do kwadratu oraz dodając stronami $1$ otrzymamy $x^{2} + 1 < δ^{2} + 1$ . Stąd

|f (x) - 0| = |x| (x^{2} + 1) < δ (δ^{2} + 1)

Zauważmy, że do wybranej wcześniej utalonej liczby $ε > 0$ musimy dobrać liczbę $δ > 0$ , tak aby $|f (x) - 0| < ε$ . Chcemy zatem wybrać liczbę dodatnią $δ$ tak aby spełniona była nierówność $δ (δ^{2} + 1) < ε$ . Wybierając liczbę dodatnią $δ$ dostatecznie bliską zeru, wyrażenie $δ (δ^{2} + 1)$ także przyjmie wartość na tyle bliską zeru aby spełniona była nierówność $δ (δ^{2} + 1) < ε$ . Stąd, dla tak dobranej liczby $δ > 0$ z wcześniejszych obliczeń wynika, że dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x| < δ$

|f (x) - 0| = |x| (x^{2} + 1) < δ (δ^{2} + 1) < ε

Zatem udowodniliśmy, że

\lim_{x \to 0} (x^{3} + x) = 0

Związek definicji Cauchy'ego z definicją Heinego.

Okazuje się, że istnieje silny związek pomiędzy definicjami granicy funkcji w punkcie według Heinego oraz według Cauchy'ego. Mianowicie definicje te są równoważne. Mówi o tym poniższe twierdzenie.

Związek pomiędzy definicją Cauchy'ego oraz Heinego granicy funkcji w punkcie

Twierdzenie: Związek pomiędzy definicją Cauchy'ego oraz Heinego granicy funkcji w punkcie

Liczba $g \in ℝ$ jest granicą funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ według Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona granicą funkcji $f$ : $D_{f} \to ℝ$ w punkcie $x_{0} \in ℝ$ według Heinego.

Słownik

otoczenie punktu

Otoczeniem punktu $x_{0}$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwo punktu $x_{0}$ o promieniu $δ > 0$ nazywamy zbiór

S (x_{0}, δ) = (x_{0} - δ, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + δ)

Wprowadzenie

Infografika

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

Jak korzystać z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie?

Związek definicji Cauchy'ego z definicją Heinego.

Słownik