Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W materiale omówimy, w jaki sposób wyznaczać współrzędne wierzchołków dowolnego wielokątawielokątwielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, czyli punktu o współrzędnych 0,0.

Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych
Definicja: Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Punkty o współrzędnych P=x,yP'=x',y' są symetryczne względem początku układu współrzędnych wtedy gdy x'=-x oraz y'=-y.

RlC12tzNZy3ZF

Z powyższej definicji wynika, że:

  • punktem symetrycznym względem początku układu współrzędnychsymetria środkowa względem początku układu współrzędnychpunktem symetrycznym względem początku układu współrzędnych do danego punktu jest punkt o przeciwnych współrzędnych,

  • początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka łączącego dwa punkty, które są względem niego symetryczne.

Ważne!

Obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest wielokąt do niego przystający o tym samym obwodzie i polu.

Do sprawdzenia, czy dane dwa wielokąty są symetryczne względem początku układu współrzędnych użyjemy wzoru na środek S odcinka o końcach A=x1,y1B=x2,y2:

S=x1+x22,y1+y22

Do wyznaczenia obrazu wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wystarczy znaleźć obraz wierzchołków tego wielokąta.

Przykład 1

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru m punkty o współrzędnych P=-m2,4 oraz P=m+12,-4 są symetryczne względem punktu o współrzędnych 0,0.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkty PP' są symetryczne względem początku układu współrzędnych, to do wyznaczenia wartości parametru m rozwiązujemy równanie:

-m2=-m+12

Wobec tego:

m2-m-12=0

Zatem m=-3 oraz m=4.

Przykład 2

Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A=-3,-1, B=4,-2 oraz C=1,5.

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków tego trójkąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Niech A', B', C' będą punktami symetrycznymi do punktów A, B, C w symetrii środkowej względem punktu 0,0. Wówczas:

A'=3,1,

B'=-4,2,

C'=-1,-5.

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków prostokąta ABCD z poniższego rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

RbqZPheGRIGjP

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków prostokąta ABCD:

A=-4,-3,

B=2,-3,

C=2,4,

D=-4,4.

Współrzędne wierzchołków prostokąta ABCD w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wynoszą odpowiednio:

A'=4,3,

B'=-2,3,

C'=-2,-4,

D'=4,-4.

W niektórych przypadkach obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest ten sam wielokąt.

Przykład 4

Wyznaczymy obraz czworokąta ABCD z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

RqX7OppBxz48g

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:

A=-4,-3,

B=2,-2,

C=1,3,

D=-2,4.

Obrazem czworokąta ABCD w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest czworokąt A'B'C'D' o wierzchołkach:

A'=4,3,

B'=-2,2,

C'=-1,-3,

D'=2,-4.

Zatem rysunek czworokąta A'B'C'D' przedstawia się następująco:

R1YrbkBUJx0lb
Przykład 5

Wyznaczymy obraz trójkąta ABC z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, a następnie obliczymy pole części wspólnej tych trójkątów.

R1RbbQYX83uKY

Rozwiązanie:

Obrazem trójkąta w symetrii jest trójkąt o wierzchołkach A'B'C'.

R1ZJx1OlHnJwd

Zauważmy, że częścią wspólną obu trójkątów jest romb o przekątnych długości 85, zatem jego pole wynosi:

P=12·8·5=20.

Przykład 6

Sprawdzimy, czy czworokąty ABCDA'B'C'D' przedstawione na poniższym rysunku są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

R1ZF81PgAtcRk

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków.

Dla czworokąta ABCD mamy:

A=-1,-4,

B=2,-6,

C=4,2,

D=0,4.

Dla czworokąta A'B'C'D' mamy:

A'=1,4,

B'=-2,6,

C'=-4,-3,

D'=0,-4.

Sprawdzimy, czy punkt o współrzędnych 0,0 jest środkiem każdego z odcinków AA', BB', CC', DD'.

Oznaczymy środki tych odcinków odpowiednio S1, S2, S3, S4.

Zatem:

S1=-1+12,-4+42=0,0,

S2=2-22,-6+62=0,0,

S3=4-42,2-32=0,-12,

S4=0-02,4-42=0,0.

Ponieważ S30,0, zatem czworokąty ABCDA'B'C'D' przedstawione na rysunku nie są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Słownik

symetria środkowa względem początku układu współrzędnych
symetria środkowa względem początku układu współrzędnych

przekształcenie geometryczne, w którym obrazem punktu P=x,y jest punkt P'=-x,-y

wielokąt
wielokąt

część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną