Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym (przy oznaczeniach takich jak na rysunku)

a2+b2=c2.
RplpupsaDTorO1

Oznaczmy przez α miarę kąta ostrego, leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości a. Z definicji sinusa oraz cosinusa kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym mamy

sinα=ac, cosα=bc.

Wówczas

sinα2+cosα2=ac2+bc2=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1.

Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym wynika, że wartość tgα możemy wyrazić za pomocą sinαcosα.

sinαcosα=acbc=accb=ab=tg α.

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

 
Twierdzenie:  

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości

sin2α+cos2α=1
sinαcosα=tgα.

Powyższe zależności określają związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego.