Ula i Witek chodzą razem do szkoły średniej. Na lekcji poprzedzającej zagadnienie „Ruch wahadła matematycznego” wyświetlony został film pokazujący eksperyment wykonany w pracowni fizycznej oraz zademonstrowane zostało wirtualne laboratorium poświęcone tej tematyce.

W każdym z tych mediów mierzony był okres drgań wahadła, którego długość zmieniano od pomiaru do pomiaru. Uczniowie mieli możliwość zapisania wyników uzyskanych w filmie oraz w wirtualnym laboratorium. W ramach zadanej pracy domowej, do wykonania w dwuosobowych grupach, mieli odpowiedzieć na tytułowe pytanie (Czy okres drgań wahadła matematycznego zależy od długości wahadła?) oraz uzasadnić tę odpowiedź na podstawie wyników pomiarów. Dodatkowo, dla grup zainteresowanych, zaproponowane zostało dokonanie wstępnego rozpoznania charakteru zależności okresu drgań od długości wahadła, jeśli grupa stwierdzi, że opisana zależność istnieje.

Pomiary sfilmowane w pracowni fizycznej

R180JzskmhGhY

Zapoznaj się z audiodeskrypcją filmu.

Zapoznaj się z audiodeskrypcją filmu.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R180JzskmhGhY

Zapoznaj się z audiodeskrypcją filmu.

Wyniki przeprowadzonych na filmie pomiarów zależności okresu drgania $T$ od długości $l$ wahadła przedstawione są w tabeli 1. Uwzględniono w niej, że bezpośrednio mierzona była długość samej nici. By uzyskać długość wahadła $l$, do każdej zmierzonej długości nici dodano promień kulki, zmierzony na filmie, zaokrąglony do wartości $0,025\text{ m.}$

Ostatnia kolumna tabeli pokazuje średnią zmianę okresu drgań odniesioną do zmiany długości wahadła. Ta względna zmiana została oznaczony symbolem $w$ i jest dana wyrażeniem

Długość $l_i$ oraz okres $T_i$ to wartości uzyskane w pomiarze bieżącym, zaś wartości $l_{i-1}$ oraz $T_{i-1}$ zostały uzyskane w pomiarze poprzednim.

Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań

Analizę wyników z tabeli nasi badacze rozpoczęli od określenia niepewności pomiaru okresu drgań. Zastosowali regułę opisaną w e‑materiale „Niepewność całkowita”. Ponieważ dla każdej długości wahadła dokonywany był jeden pomiar okresu drgań $T,$ to najmniejsza wartość niepewności granicznej $\Delta T$ jest powiązana z rozdzielczością użytego przyrządu. W tym przypadku jest to jedna dziesiąta milisekundy. W filmie nie podano żadnej innej informacji o dokładności przyrządu ani o jego działaniu.
Ula i Witek uznali więc, że $\Delta T=0,0002 \text{ s}$, gdyż pomiar polega na uruchomieniu stopera i na jego zatrzymaniu.

Dla zainteresowanych

Okres drgań rośnie wraz z długością wahadła, ale czy jest to wzrost liniowy?

Ula i Witek to dociekliwi uczniowie. Postanowili zatem zbadać charakter rosnącej zależności okresu drgań od długości wahadła. Zaczęli od hipotezy, że wzrost okresu ma charakter jednostajny, czyli że jednakowym przyrostom długości odpowiadają jednakowe przyrosty okresu. Dlatego właśnie wprowadzili do tabeli dodatkową kolumnę, z wielkością $w$ mierzącą stosunek przyrostu okresu do zmiany długości wahadła. Czy wielkość ta jest stała? Jak wyglądałby wykres zależności $T(l)?$

Pomiary w Wirtualnym laboratorium

Ula i Witek postawili sobie dwa cele, odnosząc je do wyników uzyskanych w laboratorium sfilmowanym:
(a) potwierdzenie istnienia rosnącej zależności pomiędzy okresem $T$ a długością wahadła $l,$
(b) zweryfikowanie, w ramach zadania dla zainteresowanych, czy charakter tej zależności odpowiada funkcji typu $y=\sqrt{x}.$ Tę ostatnią hipotezę badacze sformułowali na podstawie związku podanego w części „Przeczytaj”:

Opis wirtualnego laboratorium

Na ekranie widoczna jest sala ze stołem laboratoryjnym. Na stole z ciemnoniebieskim blatem leży postawiona pionowo szpula, na którą nawinięta jest granatowa nitka. Koniec nici rozwinięty ze szpuli biegnie w prawo i w górę do haku przymocowanego do sufitu. Nić jest przewieszona przez ten hak, ostatni jej odcinek zwisa pionowo, a na końcu nitki umocowany jest szary cylindryczny ciężarek. Całość jest wahadłem, które można złapać myszką za ciężarek, odchylić od położenia równowagi o maksymalny kąt około trzydziestu stopni i puścić. Wahadło wykonuje wtedy drgania. Obok wahadła widoczna jest niebieska linijka, ustawiona pionowo, z zerem u góry. Jest ona wyskalowana od zera do dwóch metrów z podziałką drobną co pięć centymetrów. Dłuższe znaczniki, co jedna druga metra, są opisane. Linijkę można przesuwać po laboratorium, przy pomocy myszki, zarówno w prawo i lewo jak w górę i dół. Ciągnąc myszką za pochyłą część nici można rozwijać lub nawijać ją na szpulę, co skutkuje zmianą długości wahadła. Zakres tych zmian obejmuje długości od jednej drugiej metra do dwóch metrów, co można zmierzyć za pomocą linijki po odpowiednim jej ustawieniu. Blisko prawego brzegu stołu stoi elektroniczny stoper z dwoma guzikami sterującymi i widoczną sześciocyfrową skalą. Dwie pierwsze cyfry służą do wyświetlania minut, dwie kolejne do wyświetlania sekund a dwie ostatnie do wyświetlania setnych części sekundy. Lewy, zielony guzik włącza lub wyłącza stoper; prawy czerwony guzik zeruje jego wskazania. Przycisk opisany symbolem znaku zapytania w lewym górnym rogu ekranu wyświetla instrukcję postępowania; przycisk „RESET” w lewym dolnym rogu ekranu przywraca stan wyjściowy Wirtualnego laboratorium.

Plan pracy w Wirtualnym laboratorium

Nasi eksperymentatorzy ustalili, że w Wirtualnym laboratorium nastawią osiem różnych długości wahadła, różniących się o dwie dziesiąte metra. Wiedzieli, że jeśli zmierzą czas trwania jednego wahnięcia, to nie osiągną tak małej niepewności granicznej $\Delta T$, rzędu ułamka milisekundy, jak w przypadku pomiaru zautomatyzowanego przeprowadzonego na filmie. Zdawali sobie bowiem sprawę, że refleks człowieka jest znacznie słabszy niż „refleks aparatury”. Zapoznali się więc z fragmentem instrukcji Wirtualnego laboratorium, dotyczącym niepewności pomiaru okresu drgań. Zawarte tam zalecenia ujęli w postaci reguły.

Wyniki oraz ich analiza i interpretacja

Tabela 2. zawiera wyniki pomiarów zależności okresu drgań wahadła od jego długości. Dla lepszej czytelności zrezygnowano z umieszczania kolumny zmierzonych czasów dziesięciu wahnięć $t$ i podano od razu wartość okresu $T.$

W czwartej kolumnie tabeli podano wartość $T_w$ okresu drgań wahadła o zadanej długości, obliczonego na podstawie wzoru (1), w którym przyspieszenie ziemskie wyrażone zostało z dokładnością do czterech cyfr znaczących. Wartości $T_w$ stanowią wzorzec dla mierzonego okresu drgań. W kolumnie piątej podano różnicę pomiędzy dwiema wartościami okresu drgań - zmierzoną oraz wzorcową.

Ula i Witek szybko uzgodnili, że wyniki z drugiej i trzeciej kolumny tabeli 2. uzasadniają przyjęcie takiego samego rozstrzygnięcia, jak w doświadczeniu sfilmowanym:

Okres drgań wahadła matematycznego rośnie wraz z jego długością.

Świadczą o tym różnice pomiędzy zmierzonymi wartościami $T.$ Różnice te są rzędu jednej‑dwóch dziesiątych sekundy, podczas gdy niepewność graniczna pomiaru okresu to cztery setne sekundy. Tym samym badacze uznali, że cel (a) został osiągnięty.

Dla zainteresowanych

Okres drgań rośnie nieliniowo wraz z długością wahadła, ale czy jest to wzrost opisywany funkcją typu $y=\sqrt{x}?$

Ula i Witek - dociekliwi uczniowie - postanowili bliżej zbadać nieliniowo rosnącą zależność okresu drgań od długości wahadła. Bazując na wiedzy teoretycznej oraz wynikach eksperymentu sfilmowanego w pracowni postawili hipotezę, że wzrost okresu ma charakter funkcji typu $y=\sqrt{x}.$ Dlatego właśnie wprowadzili do tabeli dodatkowe dwie kolumny. Jedna z okresem $T_w$ będącym wzorcową wartością dla okresu mierzonego $T$. Ta wzorcowa wartość jest obliczona zgodnie z zależnością (1). Ostatnia kolumna zawiera różnice $T-T_w.$