Przeczytaj

W matematyce każde stwierdzenie, aby stać się twierdzeniem, wymaga dowodu, czyli logicznego rozumowania, na podstawie którego z podanego założenia wynika teza.

Jeśli mamy implikację $A \Rightarrow B$ , wówczas mówimy, że $A$ jest warunkiem dostatecznym dla $B$ oraz, że $B$ jest warunkiem koniecznym dla $A$ . Zatem warunek dostateczny (wystarczający) to każdy warunek, z którego dany fakt wynika, a warunek konieczny to wniosek wypływający z danego faktu.

Jeśli prawdziwa jest również implikacja odwrotna $A \Leftarrow B$ , to mówimy, że $A$ jest warunkiem dostatecznym i koniecznym dla $B$ .

Analizując przykłady podane w tym materiale, wyodrębnij dla danego stwierdzenia warunek konieczny i dostateczny.

Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, z których będziemy korzystać.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Pierwszy typ zadań, którym się zajmiemy dotyczy uzasadniania, że dany ciąg jest arytmetyczny.

Przykład 1

Udowodnimy, że jeżeli ciąg $(\frac{1}{a + b}, \frac{1}{a + c}, \frac{1}{c + b})$ jest arytmetyczny i $(a + b) (b + c) (c + b) \neq 0$ to ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ też jest ciągiem arytmetycznym.

Ciąg $(\frac{1}{a + b}, \frac{1}{a + c}, \frac{1}{c + b})$ jest arytmetyczny, zatem ze związku między trzema kolejnymi wyrazami tego ciągu wynika, że

$\frac{1}{a + c} = \frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + b}}{2}$

Przekształcamy zapisaną równość. Mnożymy obie strony równości przez $2$ i ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$\frac{2}{a + c} = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + b}$

$\frac{2}{a + c} = \frac{c + b + a + b}{(a + b) (c + b)}$

Mnożymy „na krzyż” obie strony równości i wykonujemy wskazane działania.

$2 (a c + a b + b c + b^{2}) = (a + c) (a + c + 2 b)$

$2 a c + 2 a b + 2 b c + 2 b^{2} = a^{2} + a c + 2 a b + a c + c^{2} + 2 b c$

Redukujemy wyrazy podobne.

$2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$

Dzielimy obie strony równości przez $2$ .

$b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}$

Otrzymany związek wskazuje na to, że ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest arytmetyczny.

Przykład 2

Dana jest funkcja $f (x) = 4 x + 1$ . Wykażemy, że ciąg

$f (1)$ , $f (3)$ , $f (5)$ , $. . .$ , $f (2 k + 1)$ , $. . .$

gdzie $k \in ℕ_{+}$ jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

Aby wykazać, że dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym, zbadamy różnicę między kolejnymi wyrazami danego ciągu.

$f (2 n + 1) - f (2 n - 1) = 4 (2 n + 1) + 1 - 4 (2 n - 1) - 1$

$f (2 n + 1) - f (2 n - 1) = 8 n + 4 + 1 - 8 n + 4 - 1 = 8$

Badana różnica dla każdej liczby naturalnej $n$ jest liczbą, a więc jest to ciąg arytmetyczny.

Ponieważ uzyskana liczba $8$ jest dodatnia, zatem ciąg jest rosnący.

Drugi typ zadań na dowodzenie związany jest z własnościami sumy $n$ –kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Przykład 3

Ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 22 - 4 n$ dla $n = 1, 2, 3, . . .$ Udowodnimy, że liczba $n$ , dla której suma $n$ początkowych kolejnych wyrazów ciągu osiąga wartość największą jest liczbą pierwszą.

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu.

$a_{1} = 22 - 4 = 18$

$r = a_{2} - a_{1}$

$r = (22 - 8) - 18 = - 4$

Zapisujemy sumę $n$ –kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

$S = \frac{18 + 18 + (n - 1) \cdot (- 4)}{2} \cdot n$

$S = - 2 n^{2} + 20 n$

Rozważmy funkcję

$S n = - 2 n^{2} + 20 n$ , gdzie $n = 1, 2, 3, . . .$

Jest to funkcja kwadratowa, która przyjmuje wartość największą dla
$n = - \frac{20}{- 2 \cdot 2} = 5$ .

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $5$ .

$S (5) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 \cdot 5 = 50$

Zatem wartość wyrażenia $S = - 2 n^{2} + 20 n$ jest największa dla $n = 5$ i jest równa $50$ .

Liczba $5$ jest liczbą pierwszą, c.n.d

Przykład 4

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym malejącym. Suma wyrazu pierwszego i piątego jest równa $2$ , a iloczyn pierwszego i czwartego wyrazu jest równy $1$ . Wykażemy, że należy dodać co najwyżej $9$ początkowych wyrazów ciągu, aby suma tych wyrazów była liczbą nieujemną.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu.

Z treści zadania wynika, że

$a + a + 4 r = 2$ i $a (a + 3 r) = 1$ .

Stąd:

$a + 2 r = 1$

$a = 1 - 2 r$

Podstawiamy wyznaczone $a$ do drugiego z zapisanych równań.

$(1 - 2 r) (1 + r) = 1$

Rozwiązujemy otrzymane równanie.

$1 + r - 2 r - 2 r^{2} = 1$

$2 r^{2} + r = 0$

$r (2 r + 1) = 0$

$r = 0$ lub $r = - \frac{1}{2}$

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem malejącym, więc $r \neq 0$ , czyli $r = - \frac{1}{2}$ .

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a = 1 - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 2$

Zapisujemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot (- \frac{1}{2})$

$a_{n} = 2 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} n$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ – kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{2 - \frac{1}{2} n + 2 \frac{1}{2}}{2} \cdot n$

$S_{n} = - \frac{1}{4} n^{2} + \frac{9}{4} n$

Uzyskana suma ma być nieujemna, zatem zapiszemy i rozwiążemy odpowiednią nierówność.

$- \frac{1}{4} n^{2} + \frac{9}{4} n \geq 0$ i $n = 1, 2, 3, . . .$

$n (n - 9) \leq 0$

$n \in \{1, 2, 3, 4, . . ., 9\}$

C.n.d

Teraz zadanie, w których udowodnimy mniej znaną własność ciągu arytmetycznego.

Przykład 5

Udowodnimy, że dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , $c$ różnych od zera i takich, że ciąg $(a^{3}, b^{3}, c^{3})$ jest arytmetyczny, prawdziwa jest równość

$\frac{1}{a^{2} + a b + b^{2}} + \frac{1}{b^{2} + b c + c^{2}} = \frac{2}{a^{2} + a c + c^{2}}$

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu $(a^{3}, b^{3}, c^{3})$ .

Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że różnica $r$ wyraża się wzorem

$r = b^{3} - a^{3}$ i $r = c^{3} - b^{3}$

Po dodaniu stronami zapisanych wyżej równości, otrzymujemy:

$c^{3} - a^{3} = 2 r$ .

Jeśli $r = 0$ to $a = b = c$ . Wtedy dowodzona równość jest oczywista.

Jeśli $r \neq 0$ to we wszystkich ułamkach mianowniki są niepełnymi kwadratami dwumianów. Zatem możemy rozszerzyć każdy z ułamków tak, aby w mianowniku otrzymać różnicę sześcianów.

Przekształcamy najpierw lewą stronę dowodzonej równości.
$L = \frac{1}{a^{2} + a b + b^{2}} + \frac{1}{b^{2} + b c + c^{2}}$
$L = \frac{b - a}{(a^{2} + a b + b^{2}) (b - a)} + \frac{c - b}{(b^{2} + b c + c^{2}) (c - b)}$
$L = \frac{b - a}{b^{3} - a^{3}} + \frac{c - b}{c^{3} - b^{3}}$
$L = \frac{b - a}{r} + \frac{c - b}{r} = \frac{c - a}{r}$
Teraz w podobny sposób przekształcimy prawą stronę dowodzonej równości.
$P = \frac{2}{a^{2} + a c + c^{2}}$
$P = \frac{2 (c - a)}{(a^{2} + a c + c^{2}) (c - a)}$
$P = \frac{2 (c - a)}{c^{3} - a^{3}} = \frac{2 (c - a)}{2 r} = \frac{c - a}{r}$
Zatem $P = L$

c.n.d

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

Wprowadzenie

Infografika

Słownik